这里是本人的抽象代数学习笔记, 由于还在学习中, 观点比较肤浅, 还望见谅.

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参考文献

• 《抽象代数基础 (第二版)》丘维声
• 《近世代数》丘维声
• 《代数学基础 (第二版)》张英伯, 王恺顺
• 《Algebra Chapter 0 (2nd printing)》Paolo Aluffi
• 《代数学方法 (网络版)》李文威
• nLab

目录

1. 群

   1.1 群的基本概念

   1.2 置换、对称群

   1.3 陪集、商集

   1.4 群的同态、同构、直积、正规子群、商群

   1.5 可解群、单群、Jordan-Hölder 定理

   1.6 群在集合上的作用

1. 群

1.1 群的基本概念

定义1.1.1 群 (Group)

设 $G$ 是一个非空集合, 如果在 $G$ 上定义了一个代数运算 ($\cdot:G\times G\to G,(a,b)\mapsto a\cdot b$, 简记为 $ab$ ), 并且它适合下列条件:

1. 结合律 (associative law): $\forall a,b,c\in G,\ (ab)c=a(bc)$.

2. 存在单位元 (identity element): $\exists e\in G,\forall a\in G,ae=ea=a$.

3. 存在逆元 (inverse): $\forall a\in G,\exists a^{-1}\in G,aa^{-1}=a^{-1}a=e$.

则称 $(G,\cdot)$ 是一个群, 简写为 $G$.

如果一个群 $G$ 上的运算满足交换律 (commutative law), 即 $\forall a,b\in G,ab=ba$, 则称 $G$ 为 Abel 群 (abelian group).

我们定义 ($n\in \mathbb{Z}^+$):

$a^n:=\underbrace{aa\cdots a}_n$

$a^{-n}:=\underbrace{a^{-1}a^{-1}\cdots a^{-1}}_n$

$a^0:=e$

则利用结合律, 显然有 ($n,m\in \mathbb{Z}$):

$a^na^m=a^{n+m}$

$(a^n)^m=a^{nm}$

证明群 $G$ 中有且仅有一个单位元, 对于每个元素 $x$, 有且仅有一个逆元:

Proof.

• 单位元: 若 $e_1,e_2\in G$ 均为 $G$ 的单位元, 则 $e_1=e_1e_2=e_2$.

• 逆元: 若 $x^{-1}_1,x_2^{-1}\in G$ 均为 $x$ 的逆元, 则 $x_1^{-1}=x^{-1}_1e=x^{-1}_1xx^{-1}_2=ex_2^{-1}=x_2^{-1}$. $\square$

一些群的例子:

• 整数加群 $(\mathbb {Z},+)$.

• 有理数加群 $(\mathbb {Q},+)$ 和有理数乘法群 $(\mathbb {Q^*},\cdot)$.

  其中 $\mathbb {Q}^*:=\mathbb {Q}\backslash\{0\}$.

• 模 $p$ 意义下的剩余类加群 $(\mathbb {Z}_p,+)$, 以及去掉所有没有乘法逆元的元素得到的模 $p$ 意义下的剩余类乘法群 $(\mathbb {Z}_p^*,\cdot)$.

  其中 $\mathbb {Z}_p^*:=\{[a]\in \mathbb {Z}_p|\exists [a]^{-1}\in \mathbb {Z}_p,[a][a]^{-1}=[1]\}$.

• 矩阵加法群 $(\mathrm {M}_n(F),+)$.

• 一般线性群 $(\mathrm {GL}_n(F),\cdot)$, 特殊线性群$(\mathrm {SL}_n(F),\cdot)$.

  其中 $\mathrm {GL}_n(F):=\{A\in\mathrm {M}_n(F)\mid|A|\ne 0\},\mathrm {SL}_n(F):=\{A\in\mathrm {M}_n(F)\mid|A|=1\}$.

定义1.1.2 群的等价定义1

设 $G$ 是一个非空集合, 如果在 $G$ 上定义了一个代数运算, 并且它适合下列条件:

1. 结合律: $\forall a,b,c\in G,\ (ab)c=a(bc)$.

2. 存在右单位元: $\exists e\in G,\forall a\in G,ae=a$.

3. 存在右逆元: $\forall a\in G,\exists a^{-1}\in G,aa^{-1}=e$.

则称 $G$ 是一个群.

等价证明 ($1.1.1 \Leftrightarrow 1.1.2$):

Proof.

• ($\Rightarrow$)

  显然成立.

• ($\Leftarrow$)

  左单位元和右单位元相等: $ee=e\Rightarrow e(xx^{-1})=xx^{-1}\Rightarrow exx^{-1}(x^{-1})^{-1}=xx^{-1}(x^{-1})^{-1}\Rightarrow ex=x$.

  左逆元和右逆元相等: $x^{-1}xx^{-1}=ex^{-1}=x^{-1}\Rightarrow x^{-1}xx^{-1}(x^{-1})^{-1}=x^{-1}(x^{-1})^{-1}=e\Rightarrow x^{-1}x=e$. $\square$

定义1.1.3 群的等价定义2

设 $G$ 是一个非空集合, 如果在 $G$ 上定义了一个代数运算, 且 $\forall a,b\in G$, 方程 $ax=b$ 和 $ya=b$ 均有解.

等价证明 ($1.1.2\Leftrightarrow 1.1.3$):

Proof.

• ($\Rightarrow$)

  $\forall a,b\in G$, 令 $x=a^{-1}b,y=ba^{-1}$, 则有 $ax=b,ya=b$. 即方程 $ax=b$ 和 $ya=b$ 均有解.

• ($\Leftarrow$)

  任取 $a\in G$, 令 $e$ 为 $ax=a$ 的解.

  • 先证明 $\forall b\in G,be=b$:

    令 $x_0$ 为 $xa=b$ 的解, 则有 $be=(x_0 a)e=x_0(ae)=x_0a=b$.

  • 再证明右逆元存在:

    $\forall b\in G$, 方程 $bx=e$ 有解所以右逆元存在. $\square$

定义 1.1.4 半群 (Semigroup)、幺半群 (Monoid)

设 $G$ 是一个非空集合, 如果在 $G$ 上定义了一个代数运算.

1. 结合律: $\forall a,b,c\in G,\ (ab)c=a(bc)$.

2. 存在单位元: $\exists e\in G,\forall a\in G,ae=ea=a$.

如果这个代数运算满足 (1), 则称 $G$ 为半群, 如果满足 (1) 和 (2), 则称 $G$ 是幺半群.

定义1.1.5 有限群、无限群

如果群 $G$ 是有限集合, 则称 $G$ 是有限群, 它的元素个数称为 $G$ 的阶 (order), 记作 $|G|$.

如果群 $G$ 是无限集合, 则称 $G$ 是无限群.

定义1.1.6 子群 (Subgroup)

$G$ 是一个群, 如果 $H\subset G\land H\ne \emptyset$, 且 $H$ 关于群 $G$ 的代数运算构成一个群 (该运算需要在 $H$ 上封闭, 即 $\forall a,b\in H,ab\in H$), 则称 $H$ 是 $G$ 的子群, 记作 $H<G$.

命题1.1.1 一个群的子群和其具有相同的单位元且同一元素在两群中的逆元相同

Proof.

设 $G$ 是一个群, $H<G$.

• 具有相同的单位元:

  任取 $a\in H$, 则 $ae_{H}=a\Rightarrow a^{-1}ae_H=a^{-1}a\Rightarrow ee_H=e\Rightarrow e_H=e$.

• 同一元素在两群中的逆元相同

  任取 $a\in H$, 则 $aa^{-1}_H=e_H=e\Rightarrow a^{-1}_H=a^{-1}$. $\square$

命题1.1.2 $G$ 是一个群, $H\subset G$ 且 $H\ne \emptyset$, 则 $H<G\Leftrightarrow (\forall a,b\in H, ab^{-1}\in H)$

Proof.

• ($\Rightarrow$)

  任取 $a,b\in H$, 由命题 1.1.1 知 $b^{-1}\in H$, 所以 $ab^{-1}\in H$.

• ($\Leftarrow$)

  任取 $a\in H$, 有 $e=aa^{-1}\in H$.

  再任取 $b\in H$, 有 $b^{-1}=eb^{-1}\in H$.

  所以 $H$ 关于 $\cdot$ 构成群, $H< G$. $\square$

命题1.1.3 设 $H,K$ 都是 $G$ 的子群, 则 $H\cap K$ 是 $G$ 的子群.

Proof.

任取 $a,b\in H\cap K$, 则有 $ab^{-1}\in H$ 且 $ab^{-1}\in K$

所以 $ab^{-1}\in H\cap K$, 由命题 1.1.2 知 $H\cap K$ 是 $G$ 的子群. $\square$

命题1.1.4 设 $H,K$ 都是群 $G$ 的子群, 令 $HK:=\{hk|h\in H,k\in K\}$, 则 $HK$ 为子群当且仅当 $HK=KH$.

Proof.

• ($\Rightarrow$)

  任取 $h\in H,k\in K$, 则

  因为 $h^{-1}k^{-1}\in HK\land HK$ 是群 $\Rightarrow (h^{-1}k^{-1})^{-1}\in HK\Rightarrow kh\in HK$.

  所以 $KH\subset HK$.

  因为 $k^{-1}h^{-1}\in HK\Rightarrow \exists h_1\in H,k_1\in K, h_1k_1=k^{-1}h^{-1}\Rightarrow hk=(h_1k_1)^{-1}=k_1^{-1}h_1^{-1}\in KH$

  所以 $HK\subset KH$.

  所以 $HK=KH$.

• ($\Leftarrow$)

  任取 $h_1,h_2\in H,k_1,k_2\in K$

  由 $HK=KH$ 知 $k_2^{-1}h_2^{-1}\in HK$ 所以 $\exists h_3\in H,k_3\in K,h_3k_3=k_2^{-1}h_2^{-1}$.

  所以 $h_1k_1k_2^{-1}h_2^{-1}=h_1k_1h_3k_3$. 由 $HK=KH$ 知 $\exists h_4\in H,k_4\in K,h_4k_4=k_1h_3$

  所以 $h_1k_1k_2^{-1}h_2^{-1}=h_1h_4k_4k_3\in HK$. 由命题 1.1.2 知 $HK$ 为 $G$ 的子群. $\square$

定义1.1.7 循环群 (Cyclic Group)

$G$ 是一个群, 如果 $\exists \xi\in G,\forall a\in G,\exists k\in \mathbb{Z},\xi^k=a$. 则称 $G$ 是一个循环群, 记作 $\left< \xi\right> $. 其中, $\xi$ 被称为 $G$ 的生成元 (generator).

定义1.1.8 元素的阶 (Order)

一个元素的阶即能使得 $a^n=e$ 的最小正整数 $n$, 记作 $|a|=n$.

如果 $\forall n\in \mathbb Z^+,a^n\ne e$, 则记作 $|a|=\infty$.

如果 $|a|\ne \infty$, 显然有 $\left|\left<a\right>\right|=|a|$.

如果 $a^n=e$, 则有 $|a|\mid n$.

Proof.

若 $a^n=e$, 做带余除法得 $n=k|a|+r$.

则有 $e=a^n=a^{k|a|+r}=a^r$.

由于 $r<|a|$ 且 $a^r=e$, 所以 $r=0$. $\square$

命题1.1.5 $G$ 是一个群, $a,b\in G$, 若 $(|a|,|b|)=1$ 且 $ab=ba$, 则 $|ab|=|a||b|$

Proof.

设 $n=|a|,m=|b|,s=|ab|$.

做带余除法得 $s=k_1n+r_1,s=k_2m+r_2$.

$e=(ab)^s=a^sb^s=a^{k_1n+r_1}b^{k_2m+r_2}=a^{r_1}b^{r_2}$.

则有 $a^{r_1}=b^{-r_2}\Rightarrow (a^{r_1})^m=(b^{-r_2})^m\Rightarrow a^{r_1m}=b^{-r_2m}=e$.

所以 $n\mid r_1m$ 又因为 $(n,m)=1$, 所以 $n\mid r_1$.

又由于 $r_1<n$ 所以 $r_1=0$.

同理得 $r_2=0$.

所以 $m\mid s$ 且 $n\mid s$ $\Rightarrow mn\mid s\Rightarrow s\ge mn$.

又因为 $(ab)^{mn}=a^{mn}b^{mn}=e$, 所以 $s=mn$. $\square$

命题1.1.6 若 $G$ 是一个有限 Abel 群, 则 $\exists x\in G,\forall a\in G,|a|\mid |x|$

Proof.

令 $x$ 为 $G$ 中阶最大的元素, 且 $|x|=n$.

假设 $\exists a\in G$, $|a|=m$ 且 $m\nmid n$.

即 $\exists p$ ($p$ 是素数), $n=k_1p^{r_1},m=k_2p^{r_2}(k_1,k_2,r_1,r_2\in \mathbb N,p\nmid k_1,p\nmid k_2)$, $r_2>r_1$.

由于 $|a|=k_1p^{r_1}$ 所以 $|a^{p^{r_1}}|=k_1$.

由于 $|b|=k_2p^{r_2}$ 所以 $|b^{k_2}|=p^{r_2}$.

因为 $p\nmid k_1\Rightarrow (k_1,p^{r_2})=1$.

由命题 1.1.2 知 $|a^{r_1}b^{k_2}|=k_1p^{r_2}>k_1p^{r_1}=n$, 与 $x$ 是阶最大的元素产生矛盾.

所以 $\forall a\in G,|a|\mid n$. $\square$

命题1.1.7 若 $G$ 为有限 Abel 群, 则 $G$ 为循环群当且仅当 $\forall m\in\mathbb {Z}^+$, 方程 $x^m$ 的根的个数不超过 $m$.

Proof.

• ($\Rightarrow$)

  因为 $G$ 是循环群, 所以 $\exists a\in G$, 使得 $G=\left<a\right>$.

  设 $n=|a|$.

  则方程 $x^m=e$ 的解的个数即关于 $k$ 的方程 $a^{km}=e\ (0\le k<n)$ 的解的个数.

  则有 $n|km$, 即 $\frac{n}{(m,n)}|k$, 在范围内满足条件的数有 $n\cdot \frac{(m,n)}{n}=(m,n)$ 个, 而 $(m,n)\le m$.

• ($\Leftarrow$)

  由命题 1.1.6 可知, $\exists a\in G$, $|a|$ 的阶是其它所有元素的阶的倍数.

  设 $n=|a|$. 由于 $n$ 是其它所有元素的阶的倍数, 所以 $\forall x\in G,x^n=e$.

  所以 $\forall x\in G,x$ 都是方程 $x^n=e$ 的解, 其个数不超过 $n$ 个所以 $|G|\le n$.

  又因为 $\left|\left< a\right>\right|=|a|=n$ 且 $\left<a\right>\subset G$, 所以 $|G|=\left|\left<a\right>\right|=n$, 所以 $G=\left<a\right>$. $\square$

定义 1.1.9 生成子群

设 $G$ 是一个群, $S$ 是 $G$ 的非空子集. 记
$$\left< S\right>=\{a_1^{\varepsilon_1}a_2^{\varepsilon_2}\cdots a_s^{\varepsilon_s}\in S|a_1,a_2,\dots,s_s\in S,\varepsilon_1,\varepsilon_2,\dots,\varepsilon_n=\pm 1,s\in \mathbb{Z}^+\}
$$
显然 $\left<S\right>$ 是 $G$ 的一个子群, 称为 $G$ 的由 $S$ 生成的子群 (subgroup generated by $S$).

特别地, 如果 $G=\left<S\right>$, 则称群 $G$ 是由 $S$ 生成的, $S$ 叫做 $G$ 的一个生成元集 (generator set), 如果 $S=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$ 是一个有限集, 那么就称 $G$ 是有限生成的 (finitely generated), 记作 $G=\left<a_1,a_2,\dots,a_n\right>$.

例:

• 循环群是由一个元素生成的群.
• 二面体群 (dihedral group) $D_n:=\left<\rho_1,\tau_0\right>$, 其中 $|\rho_1|=n,|\tau_0|=2,\rho_1\tau_0\rho_1=\tau_0$.

1.2 置换、对称群

定义1.2.1 置换 (Permutation)

非空集合 $\Omega$ 到自身的所有双射组成的集合, 对于映射的乘法成一个群, 称它为集合 $\Omega$ 的全变换群 (full transformation group), 记作 $S_{\Omega}$.

特别的, 当 $\Omega$ 是有限集合时, $\Omega$ 到自身的一个双射叫做 $\Omega$ 的一个置换. 设 $\Omega$ 含有 $n$ 个元素, 不妨设 $\Omega=\{1,2,\dots,n\}$, 这时 $\Omega$ 的一个置换称为 $n$ 元置换 (permutation on n letters), 并且称 $\Omega$ 的全变换群为 $n$ 元对称群 (symmetric group on n letters), 记作 $S_n$.

1.2 节未完待续
才不是懒得写呢!

1.3 陪集、商集

定义1.3.1 陪集 (Coset)

$G$ 是一个群, $H<G$, 任取 $a\in G$, 称 $aH:=\{ah|h\in H\}$ 为 $H$ 的一个左陪集 (left coset), 称 $Ha:=\{ha|h\in H\}$ 为 $H$ 的一个右陪集 (right coset).

$(ah_1=ah_2\Rightarrow h_1=h_2)\Rightarrow |aH|=|H|$.

命题1.3.1及1.3.2省略 $G$是一个群, $H<G$的前提条件.

命题1.3.1 $aH=bH\Leftrightarrow b^{-1}a\in H$

Proof.

• ($\Rightarrow $)

  任取 $ah_1\in aH$, 则有 $ah_1\in bH$, 则可以得到 $\exists h_2\in H,ah_1=bh_2$.

  那么 $b^{-1}a=h_2h_1^{-1}\in H$.

• ($\Leftarrow$)

  任取 $ah\in aH$, 有 $ah=a(a^{-1}b)(b^{-1}a)h=b(b^{-1}a)h$.

  因为 $(b^{-1}a)h\in H$ 所以 $ah=b(b^{-1}a)h\in bH$.

  所以 $aH\subset bH$, 同理得 $bH\subset aH$, 所以有 $aH=bH$. $\square$

命题1.3.2 $aH= bH\Leftrightarrow aH\cap bH\ne \emptyset$

(该命题等价于 $aH\ne bH\Leftrightarrow aH\cap bH= \emptyset$)

Proof.

• ($\Rightarrow $)

  显然.

• ($\Leftarrow$)

  因为 $aH\cap bH\ne \emptyset$, 任取 $c\in aH\cap bH$.

  则 $\exists h_1,h_2\in H,ah_1=bh_2=c$.

  那么 $ab^{-1}=h_2h_1^{-1}\in H$, 由命题 1.3.1 知, $aH=bH$. $\square$

定义1.3.2 商集 (Quotient Set)

$(G/H)_l:=\{aH|a\in G\}$ 称为 $G$ 关于 $H$ 的左商集 (left quotient set).

$(G/H)_r:=\{Ha|a\in G\}$ 称为 $G$ 关于 $H$ 的右商集 (right quotient set).

由命题 1.3.2 知 $G=\coprod_{A\in(G/H)_l} A$. ( $\coprod$ 表示不交并)

定义 $[G:H]:=|(G/H)_l|$.

命题1.3.3 (Lagrange 定理) $G$ 是一个有限群, $H<G$, 则$|G|=|H|[G:H]$.

Lagrange 定理的另一种表示方式是 $|H|\mid|G|$.

Proof.

因为 $G=\coprod_{A\in(G/H)_l} A$, 所以 $|G|=\sum_{A\in(G/H)_l} |A|=\sum_{A\in(G/H)_l} |H|=|H|[G:H]$. $\square$

命题1.3.4 如果 $G$ 是一个有限群, 则有 $\forall a\in G,a^{|G|}=e$.

Proof.

$\left<a\right>$ 是 $G$ 的子群, 所以由 Lagrange 定理知 $\left|\left<a\right>\right|\mid|G|$.

又因为 $|a|=\left|\left<a\right>\right|$, 所以 $|a|\mid |G|$.

所以 $a^{|G|}=e$. $\square$

命题1.3.5 (Fermat 小定理) 如果 $p$ 是素数, 且 $p\not\mid a$, 则有 $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$.

Proof.

因为 $p$ 是素数, 且 $p\not\mid a$, 所以 $[a]\in \mathbb {Z}_p^*$.

由于 $\mathbb {Z}_p^*$ 关于剩余类乘法构成群, 所以 $[a]^{|\mathbb{Z}_p^*|}=[1]$ 即 $[a]^{p-1}=[1]$. $\square$

命题1.3.6 (Euler 定理) 如果 $(a,p)=1$ 则有 $a^{\varphi(p)}\equiv 1\pmod p$.

$\varphi$ 被称为欧拉函数, 其定义是 $\varphi :\mathbb {Z^+}\to \mathbb {N}, p\mapsto \varphi(p):=|\{a\in \mathbb {Z}|0<a<p\land (a,p)=1\}|$.

Proof.

因为 $(a,p)=1$, 所以 $[a]\in \mathbb {Z}_p^*$.

由于 $\mathbb {Z}_p^*$ 关于剩余类乘法构成群, 所以 $[a]^{|\mathbb{Z}_p^*|}=[1]$ 即 $[a]^{\varphi(p)}=[1]$. $\square$

命题1.3.7 设 $H,K$ 都是群 $G$ 的有限子群, 则 $|HK|=\frac {|H|\cdot|K|} {|H\cap K|}$.

Proof.

$HK=\bigcup_{h\in H}hK=\coprod_{A\in\{hK|h\in H\}}A$.

所以 $|HK|=\sum_{A\in\{hK|h\in H\}}|A|=\sum_{A\in\{hK|h\in H\}}|K|=|\{hK|h\in H\}|\cdot|K|$.

而 $\forall h_1,h_2\in H,(h_1K=h_2K\Leftrightarrow h_1^{-1}h_2\in K\Leftrightarrow h_1^{-1}h_2\in H\cap K)$.

所以 $|\{hK|h\in H\}|=|\{h(H\cap K)|h\in H\}|=|(H/(H\cap K))_l|=[H:H\cap K]=\frac{|H|}{|H\cap K|}$.

所以 $|HK|=\frac {|H|\cdot|K|} {|H\cap K|}$. $\square$

1.4 群的同态、同构、直积、正规子群、商群

定义1.4.1 同态映射 (Homomorphism)

设 $G$ 和 $G'$ 是两个群, 如果映射 $\sigma:G\to G'$ 满足 $\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)$, 则称 $\sigma$ 是一个同态映射.

如果 $\sigma$ 是单射, 则称为单同态 (injective homomorphism).

如果 $\sigma$ 是满射, 则称为满同态 (surjective homomorphism).

$\mathrm {Im}(\sigma):=\{\sigma(a)|a\in G\}$, 被称为 $\sigma$ 的像 (image).

$\mathrm {Ker}(\sigma):=\{a\in G|\sigma(a)=e'\}$, 被称为 $\sigma$ 的核 (kernel). ($e'$ 为 $G'$ 的单位元)

命题1.4.1 设 $\sigma$ 是群 $G$ 到群 $G'$ 的同态映射, 则 $\mathrm {Im}(\sigma)<G'$.-

Proof.

任取 $a',b'\in \mathrm {Im}(\sigma),\exists a,b\in G,\sigma(a)=a',\sigma(b)=b'$.

因为方程 $ax=b$ 在 $G$ 中有解 $x_0$, 所以 $\sigma(ax_0)=\sigma(b)\Rightarrow \sigma(a)\sigma(x_0)=\sigma(b)\Rightarrow a'\sigma(x_0)=b'$.

所以方程 $a'x'=b'$ 在 $\mathrm {Im}(\sigma)$ 中有解.

同理得方程 $y'a'=b'$ 在 $\mathrm {Im}(\sigma)$ 中有解.

所以 $\mathrm {Im}(\sigma)$ 关于 $G'$ 的运算构成群, $\mathrm {Im}(\sigma)<G'$. $\square$

命题1.4.2 设 $\sigma$ 是群 $G$ 到群 $G'$ 的同态映射, 则 $\sigma(e)=e',\sigma(a^{-1})=\sigma(a)^{-1}$.

(其中 $e$ 为 $G$ 的单位元, $e'$ 为 $G'$ 的单位元)

Proof.

• 先证 $\sigma(e)=e'$.

  $\forall a'\in \mathrm {Im}(\sigma),\exists a\in G,\sigma(a)=a'$.

  $\sigma(e)a'=\sigma(e)\sigma(a)=\sigma(ea)=\sigma(a)=a'$, 同理得 $a'\sigma(e)=a'$

  所以 $\sigma(e)$ 是群 $\mathrm {Im}(\sigma)$ 的单位元, 又因为 $\mathrm {Im}(\sigma)<G$, 所以 $\sigma(e)=e'$.

• 再证 $\sigma(a^{-1})=\sigma(a)^{-1}$.

  $\forall a\in G,\sigma(a^{-1})\sigma(a)=\sigma(a^{-1}a)=\sigma(e)=e'$.

  同理得 $\sigma(a)\sigma(a^{-1})=e'$.

  所以 $\sigma(a^{-1})=\sigma(a)^{-1}$. $\square$

命题1.4.3 设 $\sigma$ 是群 $G$ 到群 $G'$ 的同态映射, 则 $\sigma$ 是单射当且仅当 $\mathrm {Ker}(\sigma)=\{e\}$.

Proof.

• ($\Rightarrow $)

  $\forall a\in \mathrm {Ker}(\sigma),\sigma(a)=e'=\sigma(e)\Rightarrow a=e$.

• ($\Leftarrow$)
  $$ \begin{align}
  \sigma(a)=\sigma(b) &\Rightarrow \sigma(a)\sigma(b^{-1})=\sigma(b)\sigma(b^{-1})\\
  &\Rightarrow \sigma(ab^{-1})=e'\\
  &\Rightarrow ab^{-1}\in \mathrm {Ker}(\sigma)=\{e\}\\
  &\Rightarrow ab^{-1}=e\\
  &\Rightarrow a=b\ \square
  \end{align}
  $$

命题1.4.4 设 $\sigma$ 是群 $G$ 到群 $G'$ 的一个单同态, 则 $\forall a\in G,|a|=|\sigma(a)|$.

Proof.

• 若 $|a|<\infty$

  则有 $e'=\sigma(e)=\sigma(a^{|a|})=\sigma(a)^{|a|}$.

  所以 $\left|\sigma(a)\right|\mid |a|$.

  因为 $\sigma$ 是单同态, 所以 $\mathrm {Ker}(\sigma)=\{e\}$.

  又有 $e'=\sigma(a)^{|\sigma(a)|}=\sigma(a^{|\sigma(a)|})$.

  所以 $a^{|\sigma(a)|}\in \mathrm {Ker}(\sigma)\Rightarrow a^{|\sigma(a)|}=e\Rightarrow |a|\mid|\sigma(a)|$.

  所以 $|a|=|\sigma(a)|$.

• 若 $|a|=\infty$

  则 $\forall n\in \mathbb {Z},a^n\ne e$.

  所以 $a^n\notin \mathrm {Ker}(\sigma)\Rightarrow \sigma(a)^n=\sigma(a^n)\ne e'$.

  所以 $|\sigma(a)|=\infty$. $\square$

定义1.4.2 同构 (Isomorphism)

设 $G$ 和 $G'$ 是两个群, 如果存在一个 $G$ 到 $G'$ 的双射是同态映射, 则称 $G$ 和 $G'$ 是同构的 (isomorphic), 记作 $G\cong G'$.

称 $\sigma$ 是 $G$ 到 $G'$ 的同构映射 (isomorphism), 简称为同构.

下证同构关系 ($\cong$) 是等价关系:

Proof.

• 自反性:

  取恒等映射 $1_G$, 满足 $1_G(ab)=ab=1_G(a)1_G(b)$ 且 $1_G$ 是双射, 所以 $G\cong G$

• 对称性:

  若 $G\cong G'$, 则 $\exists$ 同构映射 $\sigma:G\to G'$

  任取 $a',b'\in G',\exists a,b\in G,\sigma(a)=a',\sigma(b)=b'$

  则由 $\sigma(ab)=a'b'$ 知 $\sigma^{-1}(a'b')=ab$

  所以 $\sigma^{-1}(a'b')=ab=\sigma^{-1}(a')\sigma^{-1}(b')$.

  又因为 $\sigma^{-1}$ 是双射, 所以 $\sigma^{-1}$ 是 $G'$ 到 $G$ 的同构映射, $G'\cong G$.

• 传递性:

  若 $G\cong H,H\cong K$, 则 $\exists$ 同构映射 $\sigma:G\to H,\pi:H \to K$.

  则 $\sigma\circ\pi(ab)=\sigma(\pi(a)\pi(b))=\sigma\circ\pi(a)\sigma\circ\pi(b)$.

  又因为 $\sigma,\pi$ 均为双射, 所以 $\sigma\circ \pi$ 也为双射, 所以 $\sigma\circ\pi$ 是 $G$ 到 $K$ 的同构映射, $G\cong K$. $\square$

命题1.4.5 任意一个无限循环群都与 $\mathbb {Z}$ 同构, 任意一个 $m$ 阶循环群都与 $\mathbb {Z}_m$ 同构.

Proof.

• 若 $G$ 是一个无限循环群 $\xi$ 是 $G$ 的一个生成元.
  建立映射 $\sigma: \mathbb {Z}\to G,n\mapsto \xi^n$, 则有

  • 先证明 $\sigma$ 是单射:
    $\sigma(n)=\sigma(m)\Rightarrow \xi^n=\xi^m\Rightarrow \xi^{n-m}=e$.
    由 $|\xi|=\infty$ 知 $n-m=0$, 所以 $n=m$.

  • 再证明 $\sigma$ 是满射:

    $\forall a\in G$, 因为 $G=\left<\xi\right>$, 所以 $\exists n\in\mathbb {Z},\xi^n=a$, 所以 $\sigma(n)=\xi^n=a$.

  所以 $\sigma$ 是双射.

  因为 $\sigma (n+m)=\xi^{n+m}=\xi^n\xi^m=\sigma(n)\sigma(m)$, 所以 $\sigma$ 是同态映射.

  由上可知 $\sigma$ 是同构映射, 所以 $\mathbb {Z}\cong G$.

• 若 $G$ 是一个 $m$ 阶生成群, $\xi$ 是 $G$ 的一个生成元, 则 $|\xi|=m$.

  建立映射 $\sigma: \mathbb {Z}_m\to G,[i]\mapsto \xi^i$, 则

  若 $[i]=[j]\Rightarrow i=j+km\ (\exists k\in \mathbb {Z})\Rightarrow \xi^i=\xi^{i+km}=\xi^j$

  所以 $[i]=[j]\Rightarrow \sigma([i])=\sigma([j])$, $\sigma$ 是良定义的.

  • 先证明 $\sigma$ 是单射:

    $\sigma([i])=\sigma([j])\Rightarrow \xi^i=\xi^j\Rightarrow \xi^{i-j}=e$.

    所以 $m\mid (i-j)\Rightarrow j\in [i]\Rightarrow [i]=[j]$.

  • 再证明 $\sigma$ 是满射:

    $\forall a\in G,\exists i\in \mathbb {Z},\xi^i=a$, 则有 $\sigma([i])=\xi^i=a$.

  所以 $\sigma$ 是双射.

  因为 $\sigma([i]+[j])=\sigma([i+j])=\xi^{i+j}=\xi^i\xi^j=\sigma([i])\sigma([j])$, 所以 $\sigma$ 是同态映射.

  由上可知 $\sigma$ 是同构映射, 所以 $\mathbb {Z}_m\cong G$. $\square$

定义1.4.3 直积 (Direct Product)

设 $G$ 和 $G'$ 是两个群, 在 $G\times G'$ 上定义一个运算 ($\cdot$):
$$(g_1,g_1')\cdot(g_2,g_2'):=(g_1g_2,g_1'g_2')
$$
显然这个运算满足结合律, 有单位元 $(e,e')$, 每个元素 $(g,g')$ 都有逆元 $(g^{-1},(g')^{-1})$.

因此 $G\times G'$ 构成一个群, 称它为 $G$ 和 $G'$ 的直积, 仍记作 $G\times G'$.

如果 $G$ 和 $G'$ 上的运算是加法, 有时也称为直和 (direct sum), 记作 $G\oplus G'$.

如果 $G$ 和 $G'$ 都是有限群, 显然有 $|G\times G'|=|G||G'|$

命题1.4.6 $\mathbb {Z}_m\times \mathbb {Z}_n$ 是循环群当且仅当 $(m,n)=1$, 从而 $\mathbb {Z}_m\times \mathbb {Z}_n\cong \mathbb {Z}_{mn}$ 当且仅当 $(m,n)=1$.

Proof.

• ($\Rightarrow $)

  假设 $(m,n)=d\ne 1$, 令 $m=m'd,n=n'd$, 则有

  $\forall([a],[b])\in \mathbb {Z}_m\times \mathbb {Z}_n, m'n'd([a],[b])=(m'n'd[a],m'n'd[b])=(n'm[a],m'n[b])=([0],[0])$

  所以 $|([a],[b])|\le m'n'd< mn$ 与 $\mathbb {Z}_m\times \mathbb {Z}_n$ 是循环群产生矛盾.

• ($\Leftarrow$)

  因为 $([1],[0])+([0],[1])=([0],[1])+([1],[0])=([1],[1])$

  并且 $|([1],[0])|=m,|([0],[1])|=n,(n,m)=1$

  由命题 1.1.5 知 $|([1],[1])|=mn$, 又因为 $|\mathbb {Z}_m\times \mathbb {Z}_n|=mn$

  所以 $\mathbb {Z}_m\times \mathbb {Z}_n=\left<([1],[1])\right>$. $\square$

命题1.4.7

设 $G$ 是一个群, $H,K$ 是 $G$ 的两个子群. 如果:

1. $G=HK$

2. $H\cap K=\{e\}$

3. $\forall h\in H,\forall k\in K,hk=kh$.

则有 $G\cong H\times K$.

Proof.

建立映射 $\sigma:H\times K\to G,(h,k)\mapsto hk$.

• 先证 $\sigma$ 是同态

  $\sigma(h_1h_2,k_1k_2)=h_1h_2k_1k_2=h_1k_1h_2k_2=\sigma(h_1,k_1)\sigma(h_2,k_2)$.

• 再证 $\sigma$ 是单射

  若 $\sigma(h,k)=e$ 则 $hk=e\Rightarrow h=k^{-1}\in H\cap K=\{e\}$

  所以 $h=k=e\Rightarrow \mathrm{Ker}(\sigma)=\{(e,e)\}$

  所以 $\sigma$ 是单同态.

• 再证 $\sigma$ 是满同态.

  $\forall g\in G=HK,\exists h\in H,k\in K$, 满足 $hk=g$.

  所以 $\sigma(h,k)=hk=g$.

所以 $\sigma$ 是同构映射 $G\cong H\times K$.

定义1.4.4 共轭子群 (Conjugate Subgroup)

设 $G$ 是一个群, $H<G$, 对于给定 $g\in G$, 称 $gHg^{-1}$ 是 $H$ 的一个共轭子群.

下证 $gHg^{-1}$ 是 $G$ 的子群:

Proof.

$\forall h_1,h_2\in H,gh_1g^{-1}(gh_2g^{-1})^{-1}=gh_1g^{-1}gh_2^{-1}g^{-1}=gh_1h_2^{-1}g^{-1}\in gHg^{-1}$

所以 $gHg^{-1}<G$. $\square$

定义1.4.5 正规子群 (Normal Subgroup)

设 $G$ 是一个群, $N<G$, 如果 $N$ 的所有共轭子群都等于其自身 (即 $\forall g\in G,gNg^{-1}=N$), 则称 $N$ 是 $G$ 的正规子群, 记作 $N\lhd G$.

命题1.4.8 $N$ 是 $G$ 的正规子群当且仅当 $gN=Ng(\forall g\in G)$.

Proof.

任取 $g\in G$, 则

$gNg^{-1}=N\Leftrightarrow (gNg^{-1})g=Ng\Leftrightarrow gN(g^{-1}g)=Ng\Leftrightarrow gN=Ng$. $\square$

命题1.4.9 设 $\sigma$ 是 $G$ 到 $G'$ 的一个同态, 则 $\mathrm {Ker}(\sigma)\lhd G$.

Proof.

$\forall g\in G,\forall x\in \mathrm {Ker}(\sigma)$

$\sigma(gxg^{-1})=\sigma(g)\sigma(x)\sigma(g^{-1})=\sigma(g)\sigma(g^{-1})=e'$.

所以 $gxg^{-1}\in \mathrm {Ker}(\sigma)$.

所以 $g\mathrm {Ker}(\sigma)g^{-1}=\mathrm {Ker}(\sigma)$. $\square$

命题1.4.10 设 $H$ 是 $G$ 的子群, 若 $[G:H]=2$, 则 $H\lhd G$.

Proof.

任取 $a\in G\backslash H$, 则因为 $[G:H]=2$,

所以 $G=H\coprod aH=H\coprod Ha$.

所以 $aH=Ha$. $\square$

定义1.4.6 商群 (Quotient group)

设 $G$ 是一个群, $N\lhd G$, 则有 $(G/N)_l=(G/N)_r$, 记作 $G/N$, 在 $G/N$ 中定义运算 ($\cdot$):
$$(aN)\cdot(bN):=abN
$$
若 $aN=bN,cN=dN$, 则 $b^{-1}a\in N,(cN=dN\Rightarrow Nc=Nd\Rightarrow cd^{-1}\in N)\Rightarrow b^{-1}acd^{-1}\in N$.

又由于 $N\lhd G$, 所以 $d^{-1}(b^{-1}acd^{-1})d\in N\Rightarrow (bd)^{-1}ac\in N$.

所以 $bdN=acN$, $\cdot$ 是良定义的.

称 $(G/N,\cdot)$ 为群 $G$ 对于它的正规子群 $N$ 的商群.

定义1.4.7 自然同态 (Natural Homomorphism)

设 $G$ 是一个群, $N\lhd G$, 称 $\pi:G\to G/N,a\mapsto aN$, 为自然同态, 或者标准同态 (canonical homomorphism).

容易验证 $\pi$ 是满同态.

命题1.4.11 (群同态基本定理) 设 $\sigma$ 是 $G$ 到 $G'$ 的一个同态, 则 $\mathrm{Im}(\sigma)\cong G/\mathrm {Ker}(\sigma)$.

Proof.

建立映射 $\pi:G/\mathrm {Ker}(\sigma)\to \mathrm {Im}(\sigma),a\mathrm {Ker}(\sigma)\mapsto \sigma(a)$.

若 $a\mathrm {Ker}(\sigma)=b\mathrm {Ker}(\sigma)$, 则有 $a^{-1}b\in \mathrm {Ker}(\sigma)$.

所以 $\pi(a\mathrm {Ker}(\sigma))=\sigma(a)=\sigma(a)\sigma(a^{-1}b)=\sigma(b)=\pi(b\mathrm {Ker}(\sigma))$, $\pi$ 是良定义的.

• 先证 $\pi$ 是同态.

  $\pi((a\mathrm {Ker}(\sigma))(b\mathrm {Ker}(\sigma)))=\pi(ab\mathrm {Ker}(\sigma))=\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)=\pi(a\mathrm {Ker}(\sigma))\pi(b\mathrm {Ker}(\sigma))$.

• 再证 $\pi$ 是单射.

  $\forall a\mathrm {Ker(\sigma)}\in \mathrm {Ker}(\pi),\pi(a\mathrm {Ker}(\sigma))=e'\Rightarrow \sigma(a)=e'\Rightarrow a\in \mathrm {Ker}(\sigma)$.

  所以 $a\mathrm {Ker}(\sigma)=e\mathrm {Ker}(\sigma)\Rightarrow \mathrm {Ker}(\pi)=\{e\mathrm {Ker}(\sigma)\}$.

  以 $\pi$ 是单同态.

• 再证 $\pi$ 是满射.

  $\forall a'\in \mathrm {Im}(\sigma),\exists a\in G,\sigma(a)=a'\Rightarrow \pi(a\mathrm {Ker}(\sigma))=\sigma(a)=a'$.

由上可知, $\pi$ 为同构, 所以 $\mathrm{Im}(\sigma)\cong G/\mathrm {Ker}(\sigma)$. $\square$

命题1.4.12 第一群同构定理

设 $G$ 是一个群, $H<G,N\lhd G$, 则

1. $HN<G$
2. $H\cap N\lhd H$ 且 $ H/H\cap N \cong HN/N$.

Proof.

1. 任取 $h\in H$ 有 $N\lhd N\Rightarrow hN=Nh$

   所以 $HN=NH$, 由命题 1.1.4 知 $HN<G$.

2. 由于 $HN<G$ 且 $N\lhd G$,所以 $N\lhd HN$.

   建立映射 $\sigma:H\to HN/N,h\mapsto hN$.

   易得 $\sigma$ 是同态映射.

   $h\in \mathrm {Ker(\sigma)}\Leftrightarrow \sigma(h)=hN=eN\Leftrightarrow h\in N\cap H$.

   所以 $\mathrm {Ker}(\sigma)=N\cap H\xRightarrow{命题1.4.9} N\cap H\lhd H$.

   $\forall h\in H,n\in N$, 有 $hnN=hN$, 所以 $\sigma(h)=hN=hnN$.

   所以 $\sigma$ 是满同态, 即 $\mathrm {Im}(\sigma)=HN/N$.

   由群同态基本定理知 $\mathrm {Im}(\sigma)\cong H/\mathrm {Ker}$, 即 $HN/N\cong H/H\cap N$. $\square$

命题1.4.13 (第二群同构定理) 设 $G$ 是一个群 $N\lhd G$ 且 $H\lhd G$ 且 $N \lhd H$, 则 $H/N\lhd G/N$ 且 $(G/N)/(H/N)\cong G/H$.

Proof.

建立映射 $\sigma:G/N\to G/H,aN\mapsto aH$.

$aN=bN\Rightarrow b^{-1}a\in N\subset H\Rightarrow aH=bH\Rightarrow \sigma(aN)=\sigma(bN)$, 所以 $\sigma$ 是良定义的.

易得 $\sigma$ 是同态映射.

$aN\in \mathrm {Ker}(\sigma)\Leftrightarrow \sigma(aN)=eH\Leftrightarrow a\in H\Leftrightarrow aN\in H/N$, 所以 $\mathrm {Ker}(\sigma)=H/N$.

$\forall aH\in G/H,\sigma(aN)=aH$, 所以 $\mathrm {Im}(\sigma)=G/H$.

由群同态基本定理知 $\mathrm {Im}(\sigma)\cong (G/N)/\mathrm {Ker}(\sigma)$, 即 $G/H\cong (G/N)/(H/N)$. $\square$

1.5 可解群、单群、Jordan-Hölder 定理

定义1.5.1 换位子 (Commutator) 与换位子群 (Commutator Group)

称 $xyx^{-1}y^{-1}$ 为 $x$ 与 $y$ 的换位子, 记作 $[x,y]$.

显然有 $xy=yx\Leftrightarrow xyx^{-1}y^{-1}=e$.

称 $G$ 的所有换位子生成的子群为 $G$ 的换位子群, 也叫做导群 (derived group), 记作 $[G,G]$ 或 $G'$ ($G'$ 在本文中有时也指任意一个群).

即 $G':=\left< \{xyx^{-1}y^{-1}|x,y\in G\}\right>$.

命题1.5.1 群 $G$ 为 Abel 群当且仅当 $G'=\{e\}$.

Proof.

• ($\Rightarrow$).

  $\forall x,y\in G,xyx^{-1}y^{-1}=e.$

• ($\Leftarrow$).

  $\forall x,y\in G,xyx^{-1}y^{-1}\in G'=\{e\}\Rightarrow xyx^{-1}y^{-1}=e\Rightarrow xy=yx$. $\square$

命题1.5.2 $G'\lhd G$

Proof.

任取 $a\in G'$ 有 $a=[x_1,y_1][x_2,y_2]\cdots[x_m,y_m]$.

则 $gag^{-1}=(g[x_1,y_1]g^{-1})(g[x_2,y_2]g^{-1})(g[x_m,y_m]g^{-1})=[gx_1g^{-1},gy_1g^{-1}]\cdots[gx_mg^{-1},gy_mg^{-1}]\in G'$.

所以 $G'\lhd G$. $\square$

命题1.5.3 设 $\sigma$ 是群 $G$ 到 $\tilde G$ 的同态, 则 $\mathrm{Im}(\sigma)$ 是 Abel 群 $\Leftrightarrow G'\subset \mathrm{Ker}(\sigma)$.

Proof.

• ($\Leftarrow$).

  $\operatorname{Im}(\sigma)$ 是 Abel 群 $\Rightarrow$ $\forall x,y\in G,\sigma(x)\sigma(y)=\sigma(y)\sigma(x)\Rightarrow \sigma(xyx^{-1}y^{-1})=e$.

  所以 $xyx^{-1}y^{-1}\in \operatorname{Ker}(\sigma)$.

  所以 $G'\subset \operatorname{Ker}(\sigma)$.

• ($\Rightarrow$).

  $G'\subset\operatorname{Ker}(\sigma)\Rightarrow \sigma(xyx^{-1}y^{-1})=e\Rightarrow \sigma(x)\sigma(y)=\sigma(y)\sigma(x)$.

  所以 $\operatorname{Im}(\sigma)$ 是 Abel 群. $\square$

命题1.5.4 $G/G'$ 是阿贝尔群.

$G/G'$ 被称为把 $G$ "Abel 化" (abelianise).

Proof.

建立映射 $\sigma:G\to G/G',g\mapsto gG'$, 则有 $\operatorname{Ker}(\sigma)=G'\subset G'$.

所以 $\operatorname{Im}(\sigma)=G/G'$ 是 Abel 群. $\square$

命题1.5.5 设 $N\lhd G$, 则 $G/N$ 为 Abel 群当且仅当 $G'\subset N$.

由该命题可以看出 $G/G'$ 是 $G$ 最大的 Abel 商群.

Proof.

建立映射 $\sigma:G\to G/N,g\mapsto gN$.

由命题 1.5.3 得 $\operatorname{Im}(\sigma)=G/N$ 为阿贝尔群当且仅当 $G'\subset\operatorname{Ker}(\sigma)=N$. $\square$

定义1.5.2 导群列 (Derived Groups Series)

设 $G$ 是一个群, 将 $G'$ 的换位子群记作 $G^{(2)}$, 将 $G^{(k)}(k\ge 2)$ 的换位子群记作 $G^{(k+1)}$. 则得到一个 $G$ 的递降子群列:
$$G\rhd G' \rhd G^{(2)}\rhd\cdots\rhd G^{(k)}\rhd G^{(k+1)}\rhd\cdots
$$
称它为 $G$ 的导群列.

定义1.5.3 可解群 (Solvable Group)

设 $G$ 是一个群, 如果有一个正整数 $k$ 使得 $G^{(k)}=\{e\}$, 则称 $G$ 为可解群, 否则称 $G$ 为不可解群.

命题1.5.6 可解群的商群是可解群.

1.6 群在集合上的作用

定义1.6.1 群在集合上的作用 (Action)

设 $G$ 是一个群, $\Omega$ 是一个非空集合. 如果映射 $\sigma:G\times \Omega\to \Omega,(a,x)\mapsto a\circ x$ 满足:
$$\begin{align}
(ab)\circ x=a\circ(b\circ x),\ \ \ &\forall a,b\in G,\forall x\in\Omega
\\
e\circ x=x,\ \ \ &\forall x\in \Omega
\end{align}
$$
那么就称群 $G$ 在集合 $\Omega$ 上有一个作用.

命题1.6.1 设群 $G$ 在集合 $\Omega$ 上有一个作用, 任给 $a\in G$, 令 $\psi(a)x:=a\circ x,\forall x\in \Omega$, 则 $\psi:a\mapsto \psi(a)$ 是 $G$ 到 $S_{\Omega}$ 的一个群同态.

Proof.

$\forall a,b\in G,\forall x\in \Omega,$

$\psi(ab)x=(ab)\circ x=a\circ (b\circ x)=a\circ(\psi(b)x)=\psi(a)(\psi(b)x)=(\psi(a)\psi(b))x$

所以 $\psi(ab)=\psi(a)\psi(b)$. $\square$

定义1.6.2 作用的核

在命题 1.6.1 中定义的同态 $\psi$ 的核称为这个作用的核, 于是有:
$$\begin{align}
a\in \mathrm {Ker}(\psi)&\Leftrightarrow \psi(a)=1_\Omega\\
&\Leftrightarrow \psi(a)x=x,\forall x\in \Omega\\
&\Leftrightarrow a\circ x=x,\forall x\in \Omega
\end{align}
$$
当 $\mathrm {Ker}(\psi)=\{e\}$ 时, 称这个作用是忠实的 (faithful), 此时 $\psi$ 是 $G$ 到 $S_\Omega$ 的一个单同态.

命题1.6.2 设群 $G$ 到非空集合 $\Omega$ 上的全变换群有一个同态 $\psi$, 令 $a\circ x:=\psi(a)x,\forall a\in G,\forall x\in \Omega$, 则 $G$ 在 $\Omega$ 上由一个作用 $(a,x)\mapsto a\circ x$.

Proof.

• 先证明 $\forall a,b\in G,(ab)\circ x=a\circ(b\circ x)$

  $(ab)\circ x=\psi(ab)x=(\psi(a)\psi(b))x=\psi(a)(\psi(b)x)=a\circ(b\circ x)$.

• 再证明 $e\circ x=x$

  因为 $\psi$ 是同态, 所以 $\psi(e)=1_\Omega$ 所以 $e\circ x=1_\Omega x=x$.

定义1.6.3 群 $G$ 在集合 $G$ 上的平移

设 $G$ 是一个群令 $(a,x)\mapsto ax$ 为群 $G$ 在集合 $G$ 上的作用, 称它为群 $G$ 在集合 $G$ 上的左平移 (left translation).

同样的方式还可以定义群 $G$ 在集合 $G$ 上的右平移.

命题1.6.3 (Cayley 定理) 任何一个群都同构与某一集合上的变换群.

Proof.

设 $G$ 是任意一个群, 考虑群 $G$ 在集合 $G$ 上的左平移作用.

由 $ax=x\Leftrightarrow a=e$ 知这个作用的核为 $\{e\}$.

于是左平移引起了群 $G$ 到 $S_G$ 的一个单同态 $\psi$, 因此 $G\cong G/\mathrm {Ker}(\psi)\cong \mathrm {Im}(\psi)$.

而 $\mathrm {Im}(\psi)<S_G$, 因此群 $G$ 与集合 $G$ 上的一个变换群同构. $\square$

推论: 任何一个有限群都同构于一个置换群. $\square$

定义1.6.4 群 $G$ 在左商集 $(G/H)_l$ 上的左平移

设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群, 令 $G\times (G/H)_l\to (G/H)_l,(a,xH)\mapsto axH$.

由于 $(ab)\circ xH=(ab)xH=a(bxH)=a\circ(b\circ xH),\forall{a,b\in H,\forall xH\in(G/H)_l}$

而且 $e\circ xH=exH=xH,\forall xH\in(G/H)_l$,

因此这给出了群 $G$ 在左商集上的一个作用, 称它为群 $G$ 在 $(G/H)_l$ 上的左平移.

类似的, 可以讨论群 $G$ 在右商集 $(G/H)_r$ 上的右平移.

定义1.6.5 共轭作用 (Conjugation Action)

令 $G\times G\to G,(a,x)\mapsto axa^{-1}$.

对于 $\forall a,b,x\in G$, 有
$$\begin{align}
(ab)\circ x=(ab)x(ab)^{-1}&=a(bxb^{-1})a^{-1}=a\circ(b\circ x)\\
ex&=exe^-1=x
\end{align}
$$
所以这给出了群 $G$ 在集合 $G$ 上的一个作用, 称它为群 $G$ 在集合 $G$ 上的共轭作用.

定义1.6.6 群的中心 (Centre)

$Z(G):=\{a\in G|ax=xa,\forall x\in G\}$, 被称为群 $G$ 的中心.

由于 $axa^{-1}=x\Leftrightarrow ax=xa$, 所以群 $G$ 的中心是共轭作用的核.

定义1.6.7 自同构 (Automorphism) 与内自同构 (Inner Automorphism)

群 $G$ 到自身的一个同构映射被称为 $G$ 的一个自同构, $G$ 的所有自同构关于映射的乘法构成一个群, 称它为自同构群, 记作 $\mathrm {Aut}(G)$.

$\sigma_a(x):=axa^{-1},\forall x\in G$, 这样定义的 $\sigma_a$ 被称为 $G$ 的一个内自同构, 所有的内自同关于映射乘法构成一个群, 称它为内自同构群, 记作$\mathrm {Inn}(G)$.

下证 $\mathrm {Inn}(G)\vartriangleleft\mathrm {Aut}(G)$.

Proof.

任取 $\sigma_a\in \mathrm {Inn}(G),\tau\in \mathrm {Aut}(G)$.

则 $\forall x\in G$,
$$(\tau\sigma_a\tau^{-1})x=\tau(a(\tau^{-1}x)a^{-1})=\tau(a)\tau(\tau^{-1}x)\tau(a^{-1})=\tau(a)x\tau(a)^{-1}=\sigma_{\tau(a)}x
$$
所以 $\tau\sigma_a\tau^{-1}=\sigma_{\tau(a)}\in\mathrm {Inn}(G)$. $\square$

由于 $\mathrm {Ker}(\sigma)=Z(G),\mathrm {Im}(\sigma)=\mathrm {Inn(G)}$, 由群同态基本定理得 $G/\mathrm {Z}(G)\cong \mathrm {Inn}(G)$.

定义1.6.8 轨道 (Orbit)

设群 $G$ 在 $\Omega$ 上又一个作用, 对于 $x\in \Omega$, $G(x):=\{g\circ x|g\in G\}$.

称 $G(x)$ 是 $x$ 的 $G$ - 轨道.

所有轨道组成的集合给出了 $\Omega$ 的一个划分.

在 $\Omega$ 中规定一个二元关系:
$$x\sim y\stackrel{\mathrm {def}}{\Longleftrightarrow} \exists g\in G,y=g\circ x.
$$
下证 $\sim$ 是等价关系:

Proof.

• 自反性

  $e\circ x=x\Rightarrow x\sim x$.

• 对称性

  $x\sim y\Rightarrow y=g\circ x\Rightarrow x=g^{-1}\circ y\Rightarrow y\sim x$.

• 传递性

  $x\sim y\land y\sim z\Rightarrow y=g\circ x,z=h\circ y\Rightarrow z=h\circ (g\circ x)=(hg)\circ x\Rightarrow x\sim z$. $\square$

则以 $x$ 为带表元的等价类 $[x]=G(x)$, 所有轨道组成的集合给出了 $\Omega$ 的一个划分.

所以 $\Omega=\coprod_{i\in I} G(x_i)$, 其中 $\{x_i|i\in I\}$ 称为 $\Omega$ 的 $G$ - 轨道的完全代表系.

如果群 $G$ 在集合 $\Omega$ 上的作用只有一条轨道, 即 $\forall x,y\in \Omega,\exists g\in G$ 使得 $y=g\circ x$, 则称 $G$ 在 $\Omega$ 上的作用是传递的 (transitive). 此时称 $\Omega$ 是群 $G$ 的一个齐性空间 (homogeneous space).

考虑群 $G$ 在集合 $G$ 上的共轭作用, $x$ 的轨道为 $G(x)=\{gxg^{-1}|g\in G\}$, 称其为 $x$ 的共轭类 (conjugacy class). 给定 $x\in G$, 任取 $g\in G$, $gxg^{-1}$ 称为 $x$ 的共轭元 (conjugate elements).

定义1.6.9 类方程 (Class Equation)

称
$$|G|=|Z(G)|+\sum_{j=1}^r|G(x_j)|
$$
为有限群 $G$ 的类方程. 其中 $G(x_j)$ 是 $x_j$ 的共轭类, $\{x_1,\dots,x_r\}$ 是 $G$ 的非中心元素的共轭类的完全代表系.

定义1.6.10 稳定子 (Stabilizer)

设群 $G$ 在集合 $\Omega$ 上有一个作用. 给定 $x\in\Omega$, 令 $G_x:=\{g\in G|g\circ x=x\}$.

称 $G_x$ 是 $x$ 的稳定子, 容易验证 $G_x$ 是$G$ 的一个子群. 因此也称 $G_x$ 是 $x$ 的稳定子群.

当作用是群 $G$ 在集合 $G$ 上的共轭作用, $x$ 的稳定子 $G_x=\{g\in G|gx=xg\}$ 被称为 $x$ 在 $G$ 里的中心化子 (centralizer), 记作 $C_G(x)$.

命题1.6.4 (轨道-稳定子定理) 设群 $G$ 在集合 $\Omega$ 上有一个作用, 则 $\forall x\in \Omega$, 有 $|G(x)|=[G:G_x]$.

即, $x$ 的轨道的基数等于 $x$ 的稳定子在 $G$ 中的指数.

Proof.

因为 $a\circ x=b\circ x \Leftrightarrow b^{-1}\circ (a\circ x)=b^{-1}\circ(b\circ x)\Leftrightarrow (b^{-1}a)\circ x=x$,

所以 $a\circ x=b\circ x \Leftrightarrow b^{-1}a\in G_x \Leftrightarrow aG_x=bG_x$.

建立映射 $\varphi: (G/G_x)_l\to G(x),aH\mapsto a\circ x$.

由 $aG_x=bG_x\Rightarrow a\circ x=b\circ x$ 可知 $\varphi$ 是良定义的.

由 $\varphi(a_1G_x)=\varphi(a_2G_x)\Rightarrow a_1\circ x=a_2\circ x\Rightarrow a_1G_x=a_2G_x$ 知 $\varphi$ 是单射.

由 $\forall a\circ x\in G_x,\varphi(aG_x)=a\circ x$ 知 $\varphi$ 是满射.

所以 $\varphi$ 是双射, $|G(x)|=(G/G_x)_l=[G:G_x]$. $\square$

推论: 如果有限群 $G$ 在集合 $\Omega$ 上又一个作用, 则每一条轨道的长是 $G$ 的阶的因子, 即 $|G|=|G_x||G(x)|$.

定义1.6.11 不动点 (Fixed Point)

设群 $G$ 在 $\Omega$ 上又一个作用. 对于给定的 $g$, 若 $g\circ x=x$, 则称 $x$ 是 $g$ 的不动点.

记 $F(g):=\{x\in\Omega|g\circ x=x\}$ 为 $g$ 的不动点集.

命题1.6.5 (Burnside 引理) 设有限群 $G$ 在有限集合 $\Omega$ 上有一个作用, 则轨道的条数 $r=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|F(g)|$.

Proof.

考虑 $S=\{(g,x)\in G\times\Omega|g\circ x=x\}$.

则有 $G_x=\{g\in G|g\circ x=x\}=\{g\in G|(g,x)\in S\}$, $F(g)=\{x\in \Omega|g\circ x=x\}=\{x\in \Omega| (g,x)\in S\}$.

所以 $\sum_{x\in \Omega}|G_x|=|S|=\sum_{g\in G}|F(g)|$.

由轨道-稳定子定理知 $|G|=\frac{1}{|I|}\sum_{i\in I}|G|=\frac{1}{|I|}\sum_{i\in I}|G_{x_i}||G(x_i)|=\frac{1}{r}\sum_{i\in I}|G_{x_i}||G(x_i)|$, 其中 $\{x_1,x_2,\dots,x_r\}$ 构成 $\Omega$ 的 $G$ - 轨道的完全代表系.
$$\begin{align}
|G|&=\frac{1}{r}\sum_{i\in I}|G_{x_i}||G(x_i)|\\
&=\frac{1}{r}\sum_{i\in I}\sum_{x\in G(x_i)}|G_{x_i}|\\
&=\frac{1}{r}\sum_{i\in I}\sum_{x\in G(x_i)}|G_{x}|\\
&=\frac{1}{r}\sum_{x\in \Omega}|G_{x}|\\
&=\frac{1}{r}\sum_{g\in G} F(g)
\end{align}
$$
所以 $r=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|F(g)|$. $\square$

命题1.6.6 (Pólya 定理) 设有限群 $G$ 作用在 $n$ 个对象组成的集合 $W$ 上. $G$ 中元素 $g$ 在 $W$ 上的置换表示记作 $\tilde{g}$. 用 $m$ 种颜色给 $W$ 里的 $n$ 个对象染色, 则真正不同的染色方案 $r=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}m^{r(\tilde g)}$, 其中 $r(\tilde g)$ 是 $\tilde g$ 的轮换表示中的轮换个数 (包括 $1$ - 轮换).

Proof.

由 Burnside 引理知 $r=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|F(g)|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} m^{r(\tilde g)}$. $\square$