Sylow 定理是群论中的重要定理, 使我们更了解有限群的结构. 但是其证明过程在很多书上比较繁琐而且让人摸不着头脑, 本文整理了Advanced Modern Algebra 这本书中的证明方法, 其更为清晰且自然.
本文中所有群均为乘法群, 且单位元用
Sylow 定理由三条定理组成, 在一般书上表达如下:
Thm (Sylow 第一定理). 设群
Thm (Sylow 第二定理). 设群
- 对于
, 的任意一个 阶子群一定包含在 的某一个 Sylow – 子群中; 的任意两个 Sylow – 子群共轭.
Thm (Sylow 第三定理). 设群
但是 Advanced Modern Algebra 中的表述有些许不同, 接下来就来看看该书中的 Sylow 定理及其证明.
Lemma.
Proof.
设
-
当
时, 显然成立. -
当
时, 任取 中的一个非单位元元素 .若
对于某个 , 则 即为 阶子群;否则, 即
, 考虑商群 , 其阶为 , 其中 .由归纳假设知
中存在 阶子群 ( 阶子群一定为循环群, , ).设
, 则由于 为 阶元, (因为 且 ). 由于 因此 .假设
, 则有 , 则有 与 产生矛盾.因此
, 则 即为 的 阶子群.
Thm (Gauss).
这里同样使用数学归纳法证明.
Proof.
设
-
当
时, 显然成立. -
当
时, 用 表示 的中心.任取
, 记 表示 的共轭类, 表示 的中心化子群.若
, 由轨道 – 稳定子定理知 . 因此 , 由归纳假设知 中有 的 阶子群.若
, 再结合共轭类方程
得 , 由于 是 Abel 群, 可由之前的引理知其中有 的 阶子群.
Def.
容易得知,
- 一个有限群
是 – 群, 当且仅当其阶是 的幂. 群的子群也是 – 群.
Prop.
Proof.
由共轭类方程知
由于
Prop.
Proof.
当
-
当
时, 显然成立. -
当
时, 且 为 – 群. 则存在 的 阶子群 .由于
, 为 的正规子群.考虑商群
, 由归纳假设知其中存在 阶群 .由 The Correspondence Theorem 知存在
的子群 使得 .则
为 的 阶子群.
Def.
这么定义 Sylow
证明 Sylow
Lemma (Zorn).
Zorn 引理是集合论中的重要引理, 其等价于选择公理. 由于这个不是本文的重点, 在此不做证明.
Prop.
Proof.
设
Lemma.
- 每个
的共轭群也是 的 Sylow – 子群. 与 互素. ( 表示 的正规化子群)- 若
满足 为 的幂且 , 则有 .
Proof.
-
若
的共轭 不是 的 Sylow – 子群.则存在
的 – 子群 使得 产生矛盾. -
假设
, 则由 Gauss 定理知商群 存在 阶子群 .由 The Correspondence Theorem 知存在子群
满足 .则
是 – 群且 产生矛盾. -
因为
, 有 .由 (2) 可知
, 因此 .
至此, 铺垫已经做足, 接下来将正式开始证明 Sylow 定理.
Thm (Sylow 第二和第三定理)
-
每个 Sylow
– 子群都是 的共轭群. -
如果这里有
个 Sylow – 子群, 则 是 的因子且
Proof.
令
若
-
若
的轨道 满足 , 则有 .若
, 则由之前的定理知 , 因此 .因此若
, 则有再由轨道 – 稳定子定理
得知 .又因为
对 取余得
-
若
的轨道 不满足 . 假设 .则与上面同理可知每个
的轨道都有 .则
对 取余得
产生矛盾. 因此 .
综上所述,
由于所有 Sylow
而
因此 (2) 成立.
Thm (Sylow 第一定理). 设群
Proof.
设
由之前的引理可知
又由 Sylow 第二和第三定理可知
因此