Sylow 定理

Sylow 定理是群论中的重要定理, 使我们更了解有限群的结构. 但是其证明过程在很多书上比较繁琐而且让人摸不着头脑, 本文整理了Advanced Modern Algebra 这本书中的证明方法, 其更为清晰且自然.

本文中所有群均为乘法群, 且单位元用 1 表示.

Sylow 定理由三条定理组成, 在一般书上表达如下:

Thm (Sylow 第一定理). 设群 G 的阶为 pem, 其中 p 为素数且 gcd(m,p)=1,e>0, 则对于 1ke, G 中必有 pk 阶子群. 其中 pe 阶子群被称为 GSylow p – 子群.

Thm (Sylow 第二定理). 设群 G 的阶为 pem, 其中 p 为素数且 gcd(m,p)=1,e>0, 则

  1. 对于 1ke, G 的任意一个 pk 阶子群一定包含在 G 的某一个 Sylow p – 子群中;
  2. G 的任意两个 Sylow p – 子群共轭.

Thm (Sylow 第三定理). 设群 G 的阶为 pem, 其中 p 为素数且 gcd(m,p)=1,e>0, 则 G 的 Sylow p – 子群的个数 r 满足 rm
r1modp
但是 Advanced Modern Algebra 中的表述有些许不同, 接下来就来看看该书中的 Sylow 定理及其证明.


Lemma. G 是一个有限 Abel 群, p|G| 的一个素因子, 则 G 含有 p 阶子群.

Proof.

|G|=pm, 对 m 进行数学归纳.

  • m=1 时, 显然成立.

  • m2 时, 任取 G 中的一个非单位元元素 a.

    |a|=kp 对于某个 kZ+, 则 ak 即为 p 阶子群;

    否则, 即 p|a|, 考虑商群 G/a, 其阶为 pm, 其中 m=m|a|<m.

    由归纳假设知 G/a 中存在 p 阶子群 [b] (p 阶子群一定为循环群, bG, [b]:=ba).

    |bp|=s,|b|=t, 则由于 [b]p 阶元, gcd(s,p)=1 (因为 bpap|a|). 由于 bsp=1 因此 tsp.

    假设 pt, 则有 ts, 则有 [b]s=agcd(s,p)=1 产生矛盾.

    因此 pt, 则 bt/p 即为 Gp 阶子群. ◻

Thm (Gauss). G 是一个有限群, p|G| 的一个素因子, 则 G 含有 p 阶子群.

这里同样使用数学归纳法证明.

Proof.

|G|=pm, 对 m 进行数学归纳.

  • m=1 时, 显然成立.

  • m2 时, 用 Z(G) 表示 G 的中心.

    任取 aGZ(G), 记 Oa 表示 a 的共轭类, C(a) 表示 a 的中心化子群.

    p|Oa|, 由轨道 – 稳定子定理知 |Oa||C(a)|=|G|. 因此 p|C(a)|, 由归纳假设知 |C(a)| 中有 Gp 阶子群.

    aGZ(G),p|Oa|, 再结合共轭类方程
    |G|=|Z(G)|+i|Oai|
    p|Z(G)|, 由于 Z(G) 是 Abel 群, 可由之前的引理知其中有 Gp 阶子群. ◻

Def. G 是一个群, p 是一个素数, 若 G 中所有元素的阶都是 p 的幂, 则称 G 是一个 p – 群.

容易得知,

  • 一个有限群 Gp – 群, 当且仅当其阶是 p 的幂.
  • p 群的子群也是 p – 群.

Prop. G 是一个非平凡有限 p – 群, 则其中心 Z(G) 不为 {1} 且也为有限 p 群.

Proof.

由共轭类方程知
|G|=|Z(G)|+i[G:C(ai)]
由于 aiZ(G), p[G:C(ai)], 因此 p|Z(G)|. ◻

Prop. G 是一个阶为 pe(e>0) 的群, 则 Gpk(0<ke) 阶的子群.

Proof.

k=1 时由高斯定理得证, 因此只用证明 k>1 的情形. 接下来对 e 进行数学归纳.

  • e=2 时, 显然成立.

  • e>2 时, Z(G){1}Z(G)p – 群. 则存在 Z(G)p 阶子群 H.

    由于 HZ(G), HG 的正规子群.

    考虑商群 G/H, 由归纳假设知其中存在 k1 阶群 K.

    由 The Correspondence Theorem 知存在 G 的子群 K 使得 K/H=K.

    KGpk 阶子群. ◻

Def. G 是一个群, p 是一个素数, HGp – 子群. 若不存在 G 的真 p – 子群 K 使得 HK, 则称 HG 的 Sylow p – 子群.

这么定义 Sylow p – 子群的好处是定义了无限群的情形, 而且能使得后面的证明变得更简单.

证明 Sylow p – 子群的存在性只需要用 Zorn 引理便可以完成.

Lemma (Zorn). (X,) 是一个偏序集, 若其每个链(全序子集)都有上界, 则 X 中存在极大元(即 xX,cX,x<c).

Zorn 引理是集合论中的重要引理, 其等价于选择公理. 由于这个不是本文的重点, 在此不做证明.

Prop. G 的 Sylow p – 子群存在.

Proof.

MG 的所有 p – 子群构成的集合. 定义 M 上的序关系为集合的包含关系.

M 的每个链都有链内所有元素之并集为上界, 由 Zorn 引理知, M 中存在极大元, 即 G 的 Sylow p – 子群. ◻

Lemma. P 是有限群 G 的 Sylow p – 子群.

  1. 每个 P 的共轭群也是 G 的 Sylow p – 子群.
  2. [N(P):P]p 互素. (N(P) 表示 P 的正规化子群)
  3. aG 满足 |a|p 的幂且 aPa1=P, 则有 aP.

Proof.

  1. P 的共轭 aPa1 不是 G 的 Sylow p – 子群.

    则存在 Gp – 子群 H 使得 aPa1HPa1Ha 产生矛盾.

  2. 假设 p[N(P):P], 则由 Gauss 定理知商群 N(P)/P 存在 p 阶子群 H.

      由 The Correspondence Theorem 知存在子群 HN(P) 满足 H/P=H.

    Hp – 群且 PH 产生矛盾.

  3. 因为 aPa1=P, 有 aN(P).

    由 (2) 可知 aP=P, 因此 aP. ◻

至此, 铺垫已经做足, 接下来将正式开始证明 Sylow 定理.

Thm (Sylow 第二和第三定理) G 是一个有限群且 |G|=pem, 其中 gcd(p,m)=1,e>0. 令 P 为 Sylow p – 子群.

  1. 每个 Sylow p – 子群都是 P 的共轭群.

  2. 如果这里有 r 个 Sylow p – 子群, 则 r|G|/pe 的因子且
    r1modp

Proof.

M 表示 P 的所有共轭群构成的集合. 设 M={P1,P2,,Pr}, 其中 P1=P,Pi=giPgi1PiPj(ij).

Q 是一个 Sylow p – 子群, 考虑 QM 上的作用 (a,giPgi1)agiPgi1a1=agiP(gia)1.

  • P 的轨道 OP 满足 |OP|=1, 则有 Q=P.

    aP,aPia1=Pi, 则由之前的定理知 aPi, 因此 Pi=P.

    因此若 i1, 则有 |OPi|1

    再由轨道 – 稳定子定理 |OPi|=[Q:QPi] 得知 p|OPi|.

    又因为
    r=|M|=|OP|+i1|OPi|=1+i1|OPi|
    p 取余得
    r1modp

  • P 的轨道 OP 不满足 |OP|=1. 假设 QM.

    则与上面同理可知每个 Pi 的轨道都有 p|OPi|.


    r=|M|=|OP|+i1|OPi|
    p 取余得
    r0modp
    产生矛盾. 因此 QM.

综上所述, M 即所有 Sylow p – 子群的集合. 接下来还需证明 r|G|/pe 的因子.

由于所有 Sylow p – 子群都与 P 共轭, 因此 r=|M|=[G:N(P)]. 则有 r|G|.

r 又与 p 互素(因为对取余为 1), 因此 r|G|/pe 的因子.

因此 (2) 成立. ◻

Thm (Sylow 第一定理). 设群 G 的阶为 pem, 其中 p 为素数且 gcd(m,p)=1,e>0, 则 G 的 Sylow p – 子群为 pe 阶.

Proof.

HG 的 Sylow p – 子群, 则有 [G:H]=[G:N(H)][N(H):H].

由之前的引理可知 p[N(H):H].

又由 Sylow 第二和第三定理可知 [N(H):H]p 互素.

因此 [G:H]p 互素, 而 H 的阶又为 p 的幂, 因此 |H|=pe. ◻

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