Sylow 定理是群论中的重要定理, 使我们更了解有限群的结构. 但是其证明过程在很多书上比较繁琐而且让人摸不着头脑, 本文整理了Advanced Modern Algebra 这本书中的证明方法, 其更为清晰且自然.

本文中所有群均为乘法群, 且单位元用 $1$ 表示.

Sylow 定理由三条定理组成, 在一般书上表达如下:

Thm (Sylow 第一定理). 设群 $G$ 的阶为 $p^{e}m$, 其中 $p$ 为素数且 $gcd(m,p)=1,e>0$, 则对于 $1\le k\le e$, $G$ 中必有 $p^k$ 阶子群. 其中 $p^e$ 阶子群被称为 $G$ 的 Sylow $p$ – 子群.

Thm (Sylow 第二定理). 设群 $G$ 的阶为 $p^{e}m$, 其中 $p$ 为素数且 $gcd(m,p)=1,e>0$, 则

1. 对于 $1\le k\le e$, $G$ 的任意一个 $p^k$ 阶子群一定包含在 $G$ 的某一个 Sylow $p$ – 子群中;
2. $G$ 的任意两个 Sylow $p$ – 子群共轭.

Thm (Sylow 第三定理). 设群 $G$ 的阶为 $p^{e}m$, 其中 $p$ 为素数且 $gcd(m,p)=1,e>0$, 则 $G$ 的 Sylow $p$ – 子群的个数 $r$ 满足 $r\mid m$ 且
$$r\equiv 1modp$$
但是 Advanced Modern Algebra 中的表述有些许不同, 接下来就来看看该书中的 Sylow 定理及其证明.

Lemma. $G$ 是一个有限 Abel 群, $p$ 是 $|G|$ 的一个素因子, 则 $G$ 含有 $p$ 阶子群.

Proof.

设 $|G|=pm$, 对 $m$ 进行数学归纳.

• 当 $m=1$ 时, 显然成立.

• 当 $m\ge 2$ 时, 任取 $G$ 中的一个非单位元元素 $a$.

  若 $|a|=kp$ 对于某个 $k\in {\mathbb{Z}}_{+}$, 则 $⟨a^k⟩$ 即为 $p$ 阶子群;

  否则, 即 $p\nmid |a|$, 考虑商群 $G/⟨a⟩$, 其阶为 $p{m}^{\prime }$, 其中 $m^{\prime }=\frac{m}{|a|}<m$.

  由归纳假设知 $G/⟨a⟩$ 中存在 $p$ 阶子群 $⟨[b]⟩$ ($p$ 阶子群一定为循环群, $b\in G$, $[b]:=b⟨a⟩$).

  设 $|b^p|=s,|b|=t$, 则由于 $[b]$ 为 $p$ 阶元, $gcd(s,p)=1$ (因为 $b^p\in ⟨a⟩$ 且 $p\nmid |a|$). 由于 $b^{sp}=1$ 因此 $t\mid sp$.

  假设 $p\nmid t$, 则有 $t\mid s$, 则有 $[b{]}^s=⟨a⟩$ 与 $gcd(s,p)=1$ 产生矛盾.

  因此 $p\mid t$, 则 $⟨b^{t/p}⟩$ 即为 $G$ 的 $p$ 阶子群. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$

Thm (Gauss). $G$ 是一个有限群, $p$ 是 $|G|$ 的一个素因子, 则 $G$ 含有 $p$ 阶子群.

这里同样使用数学归纳法证明.

Proof.

设 $|G|=pm$, 对 $m$ 进行数学归纳.

• 当 $m=1$ 时, 显然成立.

• 当 $m\ge 2$ 时, 用 $Z(G)$ 表示 $G$ 的中心.

  任取 $a\in G-Z(G)$, 记 ${\mathcal{O}}_a$ 表示 $a$ 的共轭类, $C(a)$ 表示 $a$ 的中心化子群.

  若 $p\nmid |{\mathcal{O}}_a|$, 由轨道 – 稳定子定理知 $|{\mathcal{O}}_a||C(a)|=|G|$. 因此 $p\mid |C(a)|$, 由归纳假设知 $|C(a)|$ 中有 $G$ 的 $p$ 阶子群.

  若 $\mathrm{\forall }a\in G-Z(G),p\mid |{\mathcal{O}}_a|$, 再结合共轭类方程
  $$|G|=|Z(G)|+\sum _i|{\mathcal{O}}_{a_i}|$$
  得 $p\mid |Z(G)|$, 由于 $Z(G)$ 是 Abel 群, 可由之前的引理知其中有 $G$ 的 $p$ 阶子群. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$

Def. $G$ 是一个群, $p$ 是一个素数, 若 $G$ 中所有元素的阶都是 $p$ 的幂, 则称 $G$ 是一个 $p$ – 群.

容易得知,

• 一个有限群 $G$ 是 $p$ – 群, 当且仅当其阶是 $p$ 的幂.
• $p$ 群的子群也是 $p$ – 群.

Prop. $G$ 是一个非平凡有限 $p$ – 群, 则其中心 $Z(G)$ 不为 $\{1\}$ 且也为有限 $p$ 群.

Proof.

由共轭类方程知
$$|G|=|Z(G)|+\sum _i[G:C(a_i)]$$
由于 $a_i\notin Z(G)$, $p\mid [G:C(a_i)]$, 因此 $p\mid |Z(G)|$. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$

Prop. $G$ 是一个阶为 $p^e(e>0)$ 的群, 则 $G$ 有 $p^k(0<k\le e)$ 阶的子群.

Proof.

当 $k=1$ 时由高斯定理得证, 因此只用证明 $k>1$ 的情形. 接下来对 $e$ 进行数学归纳.

• 当 $e=2$ 时, 显然成立.

• 当 $e>2$ 时, $Z(G)\ne \{1\}$ 且 $Z(G)$ 为 $p$ – 群. 则存在 $Z(G)$ 的 $p$ 阶子群 $H$.

  由于 $H\subset Z(G)$, $H$ 为 $G$ 的正规子群.

  考虑商群 $G/H$, 由归纳假设知其中存在 $k-1$ 阶群 $K^{\prime }$.

  由 The Correspondence Theorem 知存在 $G$ 的子群 $K$ 使得 $K/H=K^{\prime }$.

  则 $K$ 为 $G$ 的 $p^k$ 阶子群. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$

Def. $G$ 是一个群, $p$ 是一个素数, $H$ 是 $G$ 的 $p$ – 子群. 若不存在 $G$ 的真 $p$ – 子群 $K$ 使得 $H⫋K$, 则称 $H$ 是 $G$ 的 Sylow $p$ – 子群.

这么定义 Sylow $p$ – 子群的好处是定义了无限群的情形, 而且能使得后面的证明变得更简单.

证明 Sylow $p$ – 子群的存在性只需要用 Zorn 引理便可以完成.

Lemma (Zorn). $(X,\le )$ 是一个偏序集, 若其每个链(全序子集)都有上界, 则 $X$ 中存在极大元(即 $\mathrm{\exists }x\in X,\nexists c\in X,x<c$).

Zorn 引理是集合论中的重要引理, 其等价于选择公理. 由于这个不是本文的重点, 在此不做证明.

Prop. $G$ 的 Sylow $p$ – 子群存在.

Proof.

设 $M$ 是 $G$ 的所有 $p$ – 子群构成的集合. 定义 $M$ 上的序关系为集合的包含关系.

$M$ 的每个链都有链内所有元素之并集为上界, 由 Zorn 引理知, $M$ 中存在极大元, 即 $G$ 的 Sylow $p$ – 子群. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$

Lemma. $P$ 是有限群 $G$ 的 Sylow $p$ – 子群.

1. 每个 $P$ 的共轭群也是 $G$ 的 Sylow $p$ – 子群.
2. $[N(P):P]$ 与 $p$ 互素. ($N(P)$ 表示 $P$ 的正规化子群)
3. 若 $a\in G$ 满足 $|a|$ 为 $p$ 的幂且 $aP{a}^{-1}=P$, 则有 $a\in P$.

Proof.

1. 若 $P$ 的共轭 $aP{a}^{-1}$ 不是 $G$ 的 Sylow $p$ – 子群.

   则存在 $G$ 的 $p$ – 子群 $H$ 使得 $aP{a}^{-1}⫋H\Rightarrow P⫋a^{-1}Ha$ 产生矛盾.

2. 假设 $p\mid [N(P):P]$, 则由 Gauss 定理知商群 $N(P)/P$ 存在 $p$ 阶子群 $H^{\prime }$.

     由 The Correspondence Theorem 知存在子群 $H\subset N(P)$ 满足 $H/P=H^{\prime }$.

   则 $H$ 是 $p$ – 群且 $P⫋H$ 产生矛盾.

3. 因为 $aP{a}^{-1}=P$, 有 $a\in N(P)$.

   由 (2) 可知 $aP=P$, 因此 $a\in P$. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$

至此, 铺垫已经做足, 接下来将正式开始证明 Sylow 定理.

Thm (Sylow 第二和第三定理) $G$ 是一个有限群且 $|G|=p^{e}m$, 其中 $gcd(p,m)=1,e>0$. 令 $P$ 为 Sylow $p$ – 子群.

1. 每个 Sylow $p$ – 子群都是 $P$ 的共轭群.

2. 如果这里有 $r$ 个 Sylow $p$ – 子群, 则 $r$ 是 $|G|/p^e$ 的因子且
   $$r\equiv 1modp$$

Proof.

令 $M$ 表示 $P$ 的所有共轭群构成的集合. 设 $M=\{P_1,P_2,\dots ,P_r\}$, 其中 $P_1=P,P_i=g_{i}P{g}_i^{-1}$ 且 $P_i\ne P_j(i\ne j)$.

若 $Q$ 是一个 Sylow $p$ – 子群, 考虑 $Q$ 在 $M$ 上的作用 $(a,g_{i}P{g}_i^{-1})\mapsto a{g}_{i}P{g}_i^{-1}{a}^{-1}=a{g}_{i}P(g_{i}a{)}^{-1}$.

• 若 $P$ 的轨道 ${\mathcal{O}}_P$ 满足 $|{\mathcal{O}}_P|=1$, 则有 $Q=P$.

  若 $\mathrm{\forall }a\in P,a{P}_i{a}^{-1}=P_i$, 则由之前的定理知 $a\in P_i$, 因此 $P_i=P$.

  因此若 $i\ne 1$, 则有 $|{\mathcal{O}}_{P_i}|\ne 1$

  再由轨道 – 稳定子定理 $|{\mathcal{O}}_{P_i}|=[Q:Q_{P_i}]$ 得知 $p\mid |{\mathcal{O}}_{P_i}|$.

  又因为
  $$r=|M|=|{\mathcal{O}}_P|+\sum _{i\ne 1}|{\mathcal{O}}_{P_i}|=1+\sum _{i\ne 1}|{\mathcal{O}}_{P_i}|$$
  对 $p$ 取余得
  $$r\equiv 1modp$$

• 若 $P$ 的轨道 ${\mathcal{O}}_P$ 不满足 $|{\mathcal{O}}_P|=1$. 假设 $Q\notin M$.

  则与上面同理可知每个 $P_i$ 的轨道都有 $p\mid |{\mathcal{O}}_{P_i}|$.

  则
  $$r=|M|=|{\mathcal{O}}_P|+\sum _{i\ne 1}|{\mathcal{O}}_{P_i}|$$
  对 $p$ 取余得
  $$r\equiv 0modp$$
  产生矛盾. 因此 $Q\in M$.

综上所述, $M$ 即所有 Sylow $p$ – 子群的集合. 接下来还需证明 $r$ 是 $|G|/p^e$ 的因子.

由于所有 Sylow $p$ – 子群都与 $P$ 共轭, 因此 $r=|M|=[G:N(P)]$. 则有 $r\mid |G|$.

而 $r$ 又与 $p$ 互素(因为对取余为 1), 因此 $r$ 是 $|G|/p^e$ 的因子.

因此 (2) 成立. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$

Thm (Sylow 第一定理). 设群 $G$ 的阶为 $p^{e}m$, 其中 $p$ 为素数且 $gcd(m,p)=1,e>0$, 则 $G$ 的 Sylow $p$ – 子群为 $p^e$ 阶.

Proof.

设 $H$ 为 $G$ 的 Sylow $p$ – 子群, 则有 $[G:H]=[G:N(H)][N(H):H]$.

由之前的引理可知 $p\nmid [N(H):H]$.

又由 Sylow 第二和第三定理可知 $[N(H):H]$ 与 $p$ 互素.

因此 $[G:H]$ 与 $p$ 互素, 而 $H$ 的阶又为 $p$ 的幂, 因此 $|H|=p^e$. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.0.3/svg/25fb.svg">}$