蛇形引理是同调代数中的一个重要引理, 在构造正合同调列中有起到重要的作用.

记得初见这个引理之时觉得抽象无比, 无法理解. 感觉完全为了抽象而抽象没有什么意义.

然而随着学习代数拓扑的深入, 逐渐理解正合列的强大, 以及这个引理的用途.

接下来本文将使用按图索骥法证明蛇形引理.

Lemma. (Snake) $R$ 是一个环, $A,B,C,D,E,F$ 是 $R$ - 模, 下图中的映射都是 $R$ - 模同态, 且下图交换且行是正合的:
$$% https://darknmt.github.io/res/xypic-editor/#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
\xymatrix{
& A \ar@{->}[r]^{i} \ar@{->}[d]^{\partial'} & B \ar@{->}[r]^{p} \ar@{->}[d]^{\partial} & C \ar@{->}[r] \ar@{->}[d]^{\partial''} & 0 \\
0 \ar@{->}[r] & D \ar@{->}[r]_{j} & E \ar@{->}[r]_{q} & F &
}
$$
则存在 $d:\operatorname{ker}\partial''\to\operatorname{coker}\partial'$, 使得以下列正合:
$$\operatorname{ker}{\partial'}\to\operatorname{ker}{\partial}\to \operatorname{ker}{\partial''}\xrightarrow{d}\operatorname{coker}\partial'\to\operatorname{coker}\partial\to\operatorname{coker}\partial''
$$
Proof.

定义 $d:z\mapsto j^{-1}\partial p^{-1}z+\operatorname{im}\partial'$.

(可以注意到 $p$ 不一定是单射, 所以 $p^{-1}z$ 可能有多个元素, 这里的定义说的是可以取其中任意一个元素)

• 先证 $d$ 是良定义的, 这里任取 $z\in \operatorname{ker} \partial''$.

  这个证明分为两部分, 一部分是证明 $\partial p^{-1}z\in \operatorname{im} j$, 而另一部分是证明取 $p^{-1}z$ 中的任意两个元素得到的结果都是相同的.

  • 由于 $p$ 是满射, 所以 $\exists s\in B, ps=z$.

  由交换图知 $q\partial s=\partial'' ps=\partial''z=0$, 因此再结合正合性知 $\partial s\in \operatorname{ker} q=\operatorname {im} j$.

  • 若 $ps=ps'=z$, 则有 $p(s-s')=0$, 所以 $s-s'\in \operatorname{ker} p=\operatorname {im} i$.

  所以 $\exists a\in A,ia=s-s'$.
  $$\begin{align}
  ia&=s-s'\\
  j^{-1}\partial ia&=j^{-1}\partial(s-s')\\
  j^{-1}j\partial' a&=j^{-1}\partial(s-s')\ \ \ (j\partial'=\partial i)\\
  \partial' a&=j^{-1}\partial(s-s')
  \end{align}
  $$
  因此 $j^{-1}\partial(s-s')\in \operatorname{im}\partial'\Rightarrow j^{-1}\partial s+\operatorname{im}\partial'=j^{-1}\partial s'+\operatorname{im}\partial'$.

  由此可知 $d$ 是良定义的.

• 再证明正合性.

  首先明确每两个集合间的映射:

  $i_\# :\operatorname{ker}{\partial'}\to\operatorname{ker}{\partial},z\mapsto iz$;

  $p_\#:\operatorname{ker}{\partial}\to\operatorname{ker}{\partial''},z\mapsto pz$;

  $j_\# :\operatorname{coker}{\partial'}\to\operatorname{coker}{\partial},z+\operatorname{im}\partial'\mapsto jz+\operatorname{im}\partial$;

  $q_\#:\operatorname{coker}{\partial}\to\operatorname{coker}{\partial''},z+\operatorname{im}\partial\mapsto pz+\operatorname{im}\partial''$.

  由交换图容易验证上面的映射都是良定义.

  正合性的证明分为四个部分, 分别证明在每个 $R$ - 模处正合.

  • 下证 $\operatorname {im}i_\#=\operatorname {ker}p_\#$.

  • 任取 $z\in \operatorname{ker}{\partial'}$, 有 $p_\#i_\#z=piz=0\Rightarrow i_\#z\in \operatorname{ker} p_\#$, 所以 $\operatorname {im}i_\#\subset\operatorname {ker}p_\#$.

  • 任取 $z\in \operatorname {ker} p_\#$, 有 $z\in\ker p=\operatorname{im} i$, 因此 $\exists s\in A, is=z$.

    又由于 $j\partial' s=\partial is=\partial z=0$ 且 $j$ 是单射, 因此有 $\partial's=0$.

    所以 $s\in \operatorname{ker} \partial'$ 且 $i_\#s=z\Rightarrow z\in\operatorname {im}i_\#$.

  • 下证 $\operatorname {im}p_\#=\operatorname {ker} d$.

  • 任取 $z\in \operatorname{ker}{\partial}$, 有 $dp_\#z=dpz=j^{-1}\partial p^{-1}pz+\operatorname{im}\partial'=j^{-1}(\partial z)+\operatorname{im}\partial'=0$.

  • 任取 $z\in \operatorname{ker} d$, 有 $j^{-1}\partial p^{-1}z \in \operatorname{im}\partial'$, 所以 $\exists s\in A,\partial' a=j^{-1}\partial p^{-1}z$.

    则有 $\partial ia=j\partial' a=\partial p^{-1}z\Rightarrow p^{-1}z-ia\in \operatorname{ker}\partial$.

    则有 $p_\#(p^{-1}z-ia)=pz-pia=z$, 因此 $z\in \operatorname {im}p_\#$.

  • 下证 $\operatorname {im}d=\operatorname {ker} j_\#$.

  • 任取 $z\in \operatorname{ker}{\partial''}$, 有 $j_\#dz=jj^{-1}\partial p^{-1}z+\operatorname{im}\partial=0$.

  • 任取 $z+\operatorname{im}\partial'\in \operatorname{ker} j_\#$, 则有 $jz\in \operatorname{im}\partial$.

    则 $\exists s\in B,\partial s=jz$.

    所以, $\partial'' ps=q\partial s=qjz=0$.

    因此, $ps\in \operatorname{ker}\partial''$, 且 $dps=j^{-1}\partial p^{-1}ps+\operatorname{im}\partial'=j^{-1}jz+\operatorname{im}\partial'=z+\operatorname{im}\partial'\Rightarrow z+\operatorname{im}\partial'\in \operatorname{im}d$.

  • 下证 $\operatorname{im} j_\#=\operatorname{ker} q_\#$.

  • 任取 $z+\operatorname{im}\partial'\in \operatorname{coker}{\partial'}$, 有 $q_\#j_\#(z+\operatorname{im}\partial')=qjz+\operatorname{im}\partial''=0$.

  • 任取 $z+\operatorname{im}\partial\in \operatorname{ker} q_\#$, 有 $qz\in \operatorname{im}\partial''$.

    则 $\exists s\in C,\partial'' s=qz$. 由于 $p$ 是满射, 所以 $\exists b\in B,pb=s$.

    则有 $q\partial b=\partial''pb=qz$, 所以 $q(z-\partial b)=0$, 因此 $z-\partial b\in \operatorname{ker} q=\operatorname{im}j$.

    则有 $j_\#(j^{-1}(z-\partial b)+\operatorname{im}\partial')=z-\partial b+\operatorname{im}\partial=z+\operatorname{im}\partial\Rightarrow z+\operatorname{im}\partial\in \operatorname{im} j_\#$.

  由此可知, 正合性成立. $\square$